이 Post는 Khan Academy의 Linear algebra(선형 대수) 강의에 대한 Study Note입니다.

1. Linear Combinations and Span

Linear Combination(선형 결합)이란 실수 배의 Scalar 곱을 한 Vector들의 합을 말한다.

Linear Combination에서 Linear가 붙는 이유는 Vector에 Scalar 곱을 하고 있기 때문이다. (Scalar 곱을 하면 선형으로 Vector가 늘어나거나 수축되는 것을 의미)

Span(생성)은 Scalar 곱을 Vector들의 선형 결합으로 생성된 공간을 의미하며 수학적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

다음과 같은 \( \vec{a}, \vec{b} \)의 Span은 2차원 실수 공간 전체를 나타낸다.

Span vectors

모든 2차원 두 Vector의 Span이 2차원 실수 공간 전체를 나타내는 것은 아니다. 다음의 두 Vector의 선형 결합은 하나의 직선만을 생성한다.

Span vectors

또한 (0, 0)를 의미하는 Zero Vector(\( \vec{\varnothing} \))의 생성(\( Span(\vec{\varnothing})\))은 0이다.

이전에 언급한 \( \vec{a}, \vec{b} \)가 2차원 실수 공간 전체를 의미한다는 것을 증명하려면, 먼저 \(x_1, x_2\)가 Component인 \( \vec{x} \)를 정의하고 \( \vec{a} \)와 \( \vec{b} \)의 선형 결합을 통해 구할 수 있다는 것을 증명할 수 있는 Scalar 곱 \( C_1, C_2 \)를 구하는 공식을 도출한다.

그리고 이렇게 얻은 \( C_1, C_2 \)를 얻는 공식을 이용하여 \( \vec{a}, \vec{b} \)의 선형 결합으로 \( \vec{x} \)를 구할 수 있는지 확인해 보기 위해서, \( \vec{x} \)를 (2, 2)로 정의하고 위의 공식으로부터 \( C_1, C_2 \)의 값을 계산해 선형 결합 공식을 도출한다.

마지막으로, 도출된 공식이 \( \vec{x} \)를 가리키는지 확인하기 위하여 각 Vector의 값을 넣어 계산한다.