이 Post는 Khan Academy의 Linear algebra(선형 대수) 강의에 대한 Study Note입니다.

1. Introduction to linear independence

\( C_1 + 2C_2 \)를 \(C_3\)라고 정의한다.

Span of two vectors

Two vectors

2. More on linear independence

위와 같은 Vector의 집합인 S가 있을 때, S의 Vector가 서로 선형 종속(Linear Dependence) 관계라는 것은 다음을 의미한다.

집합 S의 선형 결합(Linear Combination)인 위의 공식을 만족할 때, 적어도 1개 이상의 \( C_i \)가 0이 아니면 이 Vector들은 선형 종속 관계라고 말할 수 있다.

위의 선형 결합 공식에서 \( C_1 \)에 -1을 대입하면 다음과 같은 결과가 나온다.

집합 S의 선형 결합 공식이 참이라면 위의 공식도 참이므로, Vector들 중 하나는 그 Vector를 제외한 다른 Vector의 선형 결합으로 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다.

그리고 집합 S의 선형 결합 공식에서 \( C_1 \neq 0 \)일 때, 양변을 \( C_1 \)으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

다음의 두 Vector가 선형 종속 관계인지 아니면 선형 독립(Linear Independence) 관계인지를 알아보기 위해서는 위에서 활용한 선형 결합 공식을 활용하면 된다.

위와 같이 선형 결합의 결과가 0 Vector일 때, \( C_1 \) 또는 \( C_2 \)가 0이 아니어도 만족한다면 선형 종속 관계를 나타내며, \( C_1 \) 그리고 \( C_2 \) 모두 0이어야 한다면 이것은 선형 독립 관계를 나타낸다.

위의 공식을 각 Component 별로 계산하면 공식을 만족하는 \( C_1, C_2 \)의 값을 구할 수 있다.

위의 계산을 통해 \( C_1, C_2 \) 모두 0이어야 공식을 만족한다는 것을 알 수 있다. 따라서 두 Vector는 선형 독립 관계이고, 이 두 Vector의 Span(생성)은 2차원 실수 공간 전체임을 알 수 있다.

다음의 세 Vecotor가 선형 종속 관계인지, 선형 독립관계인지 알아보자.

마찬가지로 선형 결합의 결과가 0 Vector임을 만족하는 \( C_i \)를 구하면 된다.

임의로 \( C_3 = -1 \)이라고 정의하면 위의 공식은 다음과 같이 변경된다.

위의 공식을 이용하여 \( C_1, C_2 \)를 구하면 다음과 같다.

위의 계산을 통해 \( C_3 \)가 0이 아닐 때 \( C_1, C_2 \)도 0이 아닌 값이 나왔으므로, 이 세 Vector들은 서로 선형 종속 관계이다. 사실 2차원 Vector이기 때문에 이들의 Span(생성)이 2차원 실수 공간 전체를 나타내기 위해서는 세 Vector 중 두 개만 있어도 되며 나머지 하나는 불필요하다.