이 Post는 Khan Academy의 Linear algebra(선형 대수) 강의에 대한 Study Note입니다.

1. Vector intro for linear algebra

5mph은 속도(Scalar, 스칼라)지만 Vector는 아니다. 이것은 Magnitude만 알려준다.

동쪽으로(Direction) 5mph와 같은 정보를 Velocity(속도)라고 부르며 이것은 Vector이다.

Magnitude와 Direction이 같은 두 Vector는 같은 Vector이다.

+x가 동쪽, -x가 서쪽, +y가 북쪽, -y가 남쪽인 좌표계에서 (5, 0)는 다음과 같이 Vector로 표현할 수 있다.

수평 방향으로 +3, 수직 방향으로 +4만큼 움직이는 Vector는 다음과 같이 표현할 수 있다.

위의 Vector의 Magnitude(크기 또는 길이)는 피타고라스의 정리로 구할 수 있다.

2. Real coordinate spaces

\( \mathbb{R}^2 \)는 2-dimensional real coordinate space(2차원 실수 좌표 공간)을 의미한다.

2D real coordinate space는 all possible real valued 2 tuples(모든 가능한 실수로 된 2개의 튜플)를 가진다.

Tuple은 Ordered List(순서가 있는 리스트)이다.

아래의 Vector는 2개의 Tuple을 가지고 있는 실수 Vector이다.

\( \mathbb{R}^3 \)는 3D real coordinate space를 의미하고 모든 가능한 실수로 된 3개의 Tuple을 가진다.

\( \mathbb{R}^n \)는 n-dimensional real coordinate space를 의미한다.

3. Adding vectors algebraically and graphically

차원이 같은 두 Vector의 합은 각 Component를 더하면 된다.

\( \vec{a} + \vec{b} \)와 \( \vec{b} + \vec{a} \)는 같은 값을 가진다.

위의 2차원 Vector의 합을 Graph로 표현하면 다음과 같다.

Vector sum

4. Multiplying a vector by a scalar

Vector에 양수의 Scalar 곱을 하면 Magnitude만 확장된다.

Multiply by a postive scalar

Vector에 음수의 Scalar 곱을 하면 Direction은 반대방향이 되며 Magnitude도 확장된다.

Multiply by a negative scalar

5. Vector examples

2차원 Vector의 차는 합과 마찬가지로 각 Component의 차를 구하면 된다.

Vector의 차를 Graph로 표현하면 두 Vector의 끝을 서로 이은 것과 같다.

Vector subtraction

Vector의 순서를 바꿔서 차를 구하면 순서 바꾸기 전의 Vector와 방향만 정반대인 Vector를 얻는다.

Vector subtraction

이것을 일반화하면 2차원 뿐만 아니라 다차원 Vector의 합, 차, Scalar 곱을 구할 수 있다.

6. Unit vector notation

Vector는 수평 방향 Component와 수직 방향 Component로 나타낼 수 있다.

Vector components

모든 Vector는 Magnitude가 1인 Unit Vector(단위 벡터)로 표현할 수 있다.

아래의 수식에서 \( \hat{i} \)는 수평 Unit Vector를, \( \hat{j} \)는 수직 Unit Vector를 나타낸다.

Unit vector notation

Vector의 합은 Unit Vector를 이용하여 구할 수도 있다.

7. Unit Vector

Unit Vector는 어느 한 방향으로 향하는 Magnitude가 1인 Vector이다.

Unit vector

\( \vec{a} \)의 방향과 동일한 방향의 Unit Vector(\( \hat{u} \))는 다음의 공식을 통해 구할 수 있다.

위에서 구한 \( \hat{u} \)의 Magnitude를 구하면 Unit Vector의 정의와 같이 1이 나온다.

8. Adding vectors in magnitude and direction

8.1 Breaking down vectors into components

Vectors with magnitude and direction

수평 방향인 X축을 기준으로 방향이 30도이고 크기가 3인 \( \vec{a} \)는 삼각함수의 정의에 따라 다음과 같은 방법으로 수평 Unit Vector \( \hat{i} \)와 수직 Unit Vector \( \hat{j} \)로 나타낼 수 있다.

수평 방향인 X축을 기준으로 방향이 135도이고 크기가 2인 \( \vec{b} \)도 마찬가지로 Unit Vector로 나타낼 수 있다.

\( \vec{a} + \vec{b} \)는 위에서 구한 Unit Vector를 이용하여 구할 수 있다.

8.2 Magnitude and direction of vector sums

Adding vectors with magnitude and direction

\( \vec{a} + \vec{b} \)를 \( \vec{c} \)라고 할 때, \( \vec{c} \)의 Magnitude는 피타고라스의 정리에 따라 다음과 같이 구할 수 있다.

\( \vec{c} \)의 X축 기준 각도를 \( \theta \)라고 할 때, \( \theta \)는 다음과 같이 \( \tan \)와 \( \tan^{-1} \)의 정의를 이용하여 구할 수 있다.

8.3 Magnitude of vector sums

\( \left|\vec{c}\right| = \left|\vec{a}\right| + \left|\vec{b}\right| \)가 되는 경우는 \( \vec{a} \)와 \( \vec{b} \)가 동일한 방향을 가리킬 때 가능하다.

\( \left|\vec{c}\right| > \left|\vec{a}\right| + \left|\vec{b}\right| \)가 되는 경우는 삼각형의 정의(한 변의 크기는 다른 두 변의 합보다 작다)에 따라 존재하지 않는다.

9. Parametric representations of lines

원점을 기준으로 (2, 1) 위치를 향한 Vector를 표현하면 다음과 같다.

위와 같은 Vector를 Position Vector(위치 벡터)라고 하며 이것은 원점을 기준으로 한다.

\( \vec{v} \)와 동일 직선에 있는 Vector(Collinear Vector)의 집합을 S라고 할 때, 집합 S는 Vector의 Scalar 곱의 성질을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

Line with position vector and set

그리고 집합 S를 나타내는 선을 \( \vec{x} \)의 크기만큼 이동한 집합을 L이라고 하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

Line with position vector and set

\( y=mx+b \)의 일차 방정식의 형태로 표현해도 동일하나 굳이 이렇게 집합을 통해서 표현하는 이유는 집합이 더 일반적인 형태(General Form)의 표현 방법이기 때문이다. 2차원 실수 공간에서는 일차 방정식이 형태가 편리하나 n차원 실수 공간이 될 경우, 집합으로 표현할 수 밖에 없다.

위와 같은 원리로 다음과 같은 \( \vec{a}, \vec{b} \)의 끝을 지나가는 선을 L이라고 할 때, L을 집합으로 표현하면 다음과 같다.

Line with position vector and set

집합 L은 \( \vec{b} - \vec{a} \)를 나타내는 Vector에 Scalar 곱을 한 Vector들의 집합으로 표현한 선을 \( \vec{b} \) 또는 \( \vec{a} \)만큼 이동한 것으로 나타낸 것이다.

그리고 위의 집합 L을 이용하여 x, y 좌표를 구하는 공식은 다음과 같이 구할 수 있다.

동일한 방식으로 3차원 Vector인 \( \vec{P_1}, \vec{P_2} \)의 끝을 지나가는 선을 집합으로 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

집합 L을 이용하여 x, y, z 좌표의 값을 구하는 공식을 구하면 다음과 같다.

위와 같이 표현한 것은 3차원 실수 공간에서의 선을 나타낸다. \( x + y + z = k \)의 방정식 형태는 3차원 실수 공간의 선이 아니라 면을 표기한 것이다.